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Célébrations nationales 2005
Sciences et techniques

Applications de l’algèbre à la géométrie, une publication de Gaspard Monge
1805

L’atelier de Houdon
L’atelier de Houdon
huile sur toile de Louis-Léopold Boilly - av. 1804
Paris, musée des arts décoratifs
© UCAD / Laurent Sully Jaulmes – D.R.

 

Il existe une tradition française de clarification par les mathématiques ; elle est associée à une clarification des mathématiques qui est destinée à les sortir du rôle malheureux de science réservée à un trop petit nombre. Le livre de Gaspard Monge, Applications de l’algèbre à la géométrie, tient sa place dans cette tradition à deux faces. En relève également la publication, en latin et à Tours en 1593, de l’Introduction en l’art analytique par François Viète, ou celle, en 1637 et à Leyde, de la Géométrie de René Descartes venant mettre en lumière le Discours de la méthode. Les Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal de Lazare Carnot, en 1797, appartiennent aussi à cette tradition qui se continue après Monge, et est illustrée par les leçons de mathématiques qu’Auguste Comte insère au début de son Cours de philosophie positive en 1830. Comte donne d’ailleurs un nom à la discipline qui fait l’objet du livre de Monge, et il parle de géométrie analytique, l’expression étant retenue jusqu’à nos jours.
D’autres livres seront publiés dans cette tradition de double clarification, comme la Mesure des grandeurs de Henri Lebesgue, une fois établie sa nouvelle intégrale au début du XXe siècle, ou les Éléments du calcul tensoriel d’André Lichnerowicz en 1950, et en anglais La géométrie des fractales de Benoît Mandelbrojt. C’est bien cette tradition que l’on peut célébrer par le bicentenaire de la parution des Applications de l’algèbre à la géométrie.

Monge a d’ailleurs infléchi la tradition vers l’enseignement des mathématiques, et a ainsi donné aux mathématiques une visibilité dans la formation du citoyen qui est intéressé au développement de la chose publique. Son livre de 1805 rendait compte avec simplicité des avancées de la pensée analytique en termes sensibles de géométrie dont l’essentiel algébrique et de transformations des coordonnées se trouvait chez Leonhard Euler. Mais le livre n’était pas réservé aux seuls mathématiciens. Il était destiné aux élèves de l’École polytechnique déjà vieille de dix ans. Devait ainsi se constituer un fonds commun de références intellectuelles pour les ingénieurs des différents corps. Ce livre de géométrie analytique fournissait un des éléments d’une culture mathématique jugée indispensable pour tous les hommes de progrès. Comte inscrira même la géométrie analytique dans sa « Bibliothèque du prolétaire ».

Il existe deux autres livres de Monge consacrés à la géométrie et elle a pu paraître comme une « science française » simplement parce que Lazare Carnot ou André-Marie Legendre publiaient vers la même époque. L’un des livres de Monge est paru avec la fondation de l’École polytechnique en 1795 ; il portait sur l’application de l’analyse à la géométrie : il traitait de la géométrie différentielle qui allait connaître un développement considérable au XIXe siècle, notamment sous l’effet de l’école mathématique allemande. L’autre livre, occasionné par l’ouverture de l’École normale supérieure, traitait de la géométrie descriptive, qui restera longtemps la langue graphique précise de l’ingénieur et retrouve aujourd’hui la faveur des architectes. Renaîtra aussi la géométrie projective et la géométrie synthétique à la manière des anciens Grecs, qui, dans un jeu de simplification professorale, sera souvent opposée pour son élégance à la matière de la géométrie analytique. C’est bien sûr une combinaison d’analytique et de synthétique qui fournit le véritable progrès.


Une peinture due à Louis-Léopold Boilly, en 1804, peut illustrer la position des mathématiciens devenus à la mode dans la société française du tout début du XIXe siècle. Le peintre donne à voir l’atelier du sculpteur Houdon et il s’active sur le modèle d’un savant : ce pourrait être Monge, devenu sénateur par le bon vouloir de Bonaparte, ou encore Laplace également sénateur. Le savant, symbole des temps nouveaux, est monté sur une estrade, mais est habillé à l’ancienne, comme s’il portait la marque de la tradition intellectuelle des Lumières, revêtu de la gloire auparavant attribuée à Voltaire dont on aperçoit un peut plus haut la célèbre statue, parmi d’autres illustres.

Jean Dhombres
directeur de recherche au CNRS
directeur d’études à l’École
des hautes études en science sociale

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